OPTIMITZAR
TALLER DE MATEMÀTIQUES AMB BOMBOLLES DE SABÓ
(Superfícies minimals)

Els alumnes de 2n d'ESO hem preparat un taller sobre superfÍcies minimals i l'hem presentat a la jornada de matemàtiques.
Primer us explicarem una mica els continguts i al final podreu veure les fotos on comprovareu així de bé com ens ho hem passat .

INTRODUCCIÓ

A la natura hi trobam una sèrie de formes que l'evolució ha seleccionat perquè són òptimes. Els matemàtics les estudien a geometria com a superfícies minimals i els arquitectes les imiten en les seves construccions.
Amb aigua sabonosa podem formar molt diferents superfícies minimals.
Hi ha dos tipus de bombolles: les tancades (guarden aire al seu interior) i les obertes (poden ser planes o corbes)
La formació d'aquestes superfícies està condicionada a la tensió superficial de les molècules que formen la mescla de l'aigua sabonosa.

1.1 Formació de bombolles: Observam la seva forma.
N'hi ha de planes i de tancades.

Per què aquestes bombolles tancades tenen forma esfèrica?

Per a un volum determinat, l'esfera és la superfície més petita.

1.2 Posam una bombolla tancada sobre una superfície plana: Observam la forma de la superfície de contacte. Per què és un cercle?

Per a una àrea fixa, la circumferència és el perímetre més petit.

2- ALTRES SUPERFÍCIES MINIMALS

2.1 Tensió superficial: És la causant que la superfície d'un líquid sigui plana i també que la solució sabonosa produeixi superfícies minimals.
Per a posar en evidència la tensió superficial, podem fer el següent experiment:
Donar forma d'U a un filferro i fermar als extrems un cordill de la mateixa longitud. Introduir-lo en el sabó i treure'l, estirar el cordill i comprovar quina és la posició a què tendeix quan es deixa d'estirar.
Per què s'ajunta el cordill al filferro?

Les molècules de sabó creen una tensió superficial que minimitza les superfícies sabonoses.
2.2 Submergim un tetraedre i dos cercles que es tallin perpendicularment : Observam les figures que es formen.

Primera propietat de les superfícies sabonoses: Si diverses làmines de sabó es troben en un punt, ho fan de 6 en 6 i formen angles triedres iguals. (Tetraedre)
Segona propietat de les superfícies sabonoses: Si diverses làmines de sabó es tallen, ho fan de 3 en 3 i formen angles de 120º. (Cercles perpendiculars). Dues làmines sabonoses no es poden tallar formant angles de 90º.
2.3 Submergim diferents estructures: un hexaedre, un octaedre, un dodecaedre:

Es poden comprovar les dues propietats anteriors. Totes les superfícies obtingudes són superfícies minimals.
2.4 També podeu construir estructures segons la vostra imaginació i predir com serà la superfície minimal.

4- CANVI DE FORMA D'UNA BOMBOLLA OBERTA

Del cilindre al catenoide i finalment al cercle
Submergir dues circumferències paral·leles, treure-les i allunyar-les.
Primer es forma un cilindre, després la superfície del cilindre s'estreny pel centre i forma una cintura, aquesta superfície s'anomena catenoide. Si les seguim allunyant es formen dos cercles.

5- LA LÍNIA MÉS CURTA QUE UNEIX 3 PUNTS

Quin és el camí més curt per unir 3 punts?
Submergir dues plaques de metacrilat paral·leles, separades una de l'altra per uns 4 cm i unides per 3 punts amb 3 pilars de vareta de plàstic.

Material:
Recipients de diferents mides
2 peces de metacrilat de 20X20
filferro
cordill
varetes de plàstic
cola per aferrar plàstics
massilla per a metalls
per a la mescla de sabó: 50% d'aigua, 40% sabó 10% glicerina
(El sabó disminueix la tensió superficial de l'aigua i evita que es rompin les bombolles. La glicerina evita l'evaporació de l'aigua i fa les bombolles més resistents i que durin més temps)
Mesclar l'aigua, el sabó i la glicerina dins una cubeta procurant no moure la mescla per tal d'evitar fer sabonera.
Construir diferents estructures amb el filferro, enganxant-lo amb la massilla de metall.